平方根で解く二次方程式を解く・整理する5ステップ

各ステップをクリックすると詳しい説明と例が開きます。

ステップ 1：ステップ1: 二乗のまとまりを左辺に残す

まず式を見て、二乗の形（x² か (x + p)²）が単独で置けるかを確認します。係数や定数が邪魔をしていれば、両辺を同じ数で割ったり、定数を移項したりして、左辺を「二乗だけ」、右辺を「数だけ」の形にそろえます。

例題：5x² − 10 = 0 → 5x² = 10 → x² = 2 のように、二乗以外を右辺に追いやります。

ステップ 2：ステップ2: 右辺の符号で解の個数を確認する

右辺の値（k や q）を見て、正なら2つの解、0なら1つ（重解）、負なら中学範囲では解なしと判断します。先に個数を見ておくと、書き忘れや余計な計算を防げます。

例題：x² = 9 → 解は2つ。x² = 0 → x = 0 の1つ。x² = −4 → 解なし（2乗して負になる実数はない）。

ステップ 3：ステップ3: 平方根を取り、±を必ず付ける

両辺の平方根を取ります。このとき±を忘れないのが最大のコツです。x² = k なら x = ±√k、(x + p)² = q なら x + p = ±√q と書きます。正負どちらを2乗しても同じ正の値になるから、解は2つ出ます。

例題：x² = 11 → x = ±√11。(x + 1)² = 7 → x + 1 = ±√7。

ステップ 4：ステップ4: x について解き、2つの答えを書き出す

(x + p)² = q 型では、x + p = ±√q からp を移項して x = −p ± √q に直します。±の場合分けで2つの値を最後まで残し、計算しきります。p の移項忘れと符号ミスに注意。

例題：(x − 2)² = 9 → x − 2 = ±3 → x = 2 ± 3 = 5 または −1。

ステップ 5：ステップ5: 展開された形なら平方完成で戻す

x² + 4x − 5 = 0 のように展開済みの式は、まず定数を移項し、両辺に「x の係数の半分の2乗」を加えて (x + p)² = q の形に戻します。そのうえでステップ3・4 を行えば、平方根の考え方で解けます。

例題：x² + 4x − 5 = 0 → x² + 4x = 5 → 両辺に (4/2)² = 4 を足し (x + 2)² = 9 → x = 1 または −5。

これだけは覚える

x² = k なら x = ±√k（k ≧ 0）、k = 0 は重解、k < 0 は解なし。(x + p)² = q なら x = −p ± √q。展開された式は「x の係数の半分の2乗」を加える平方完成で (x + p)² = q に戻す。

±を片方だけにして解を1つしか書かない。(x + p)² = q でp の移項を忘れる（x = ±√q と書いてしまう）。右辺が負なのに無理やり√を作る（中学範囲では解なし）。順番を間違えて符号ミスをするのも多い失敗です。