y = ax² のグラフを解く・整理する5ステップ

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ステップ 1：ステップ1: 対応表を作って5点を求める

まず x = −2, −1, 0, 1, 2 を式に代入して y の値を計算し、対応表を作ります。a が分数のときは x = ±2, ±4 のように整数の y が出る値を選ぶと作業が楽になります。x と −x で y が同じ値になることを確認できれば、対称性のチェックにもなります。

例題：y = x² なら、x：−2, −1, 0, 1, 2 に対して y：4, 1, 0, 1, 4。原点 (0,0) を頂点に、左右対称の5点がそろいます。

ステップ 2：ステップ2: 点をプロットしてなめらかに結ぶ

対応表で求めた点を座標平面に正確に打ちます。直線で結ぶのは誤りで、必ずなめらかな曲線でつなぎます。原点が頂点で、y軸を対称軸にした左右対称のお椀／傘の形になっているかを最後に見直しましょう。

例題：y = x² の5点 (−2,4)(−1,1)(0,0)(1,1)(2,4) を打ち、滑らかな曲線で結ぶと、原点を頂点とする上に開く放物線になります。

ステップ 3：ステップ3: a の符号と |a| で形を判定する

a > 0 なら上に開き（原点が最低点、y ≧ 0）、a < 0 なら下に開く（原点が最高点、y ≦ 0）。さらに |a| が大きいほど細く（急に）、|a| が小さいほど広く（なだらかに）開きます。x = 1 のときの y = a の値で比較すると分かりやすいです。

例題：x = 1 のとき、y = 3x² は (1, 3) で細い、y = x² は (1, 1) で普通、y = (1/2)x² は (1, 1/2) で広い形になります。

ステップ 4：ステップ4: 変域は原点をまたぐか確認する

y の変域を求めるとき、x の範囲が原点（x = 0）をまたぐかどうかを最初に確認します。またぐ場合は原点と両端の3点で y を比べ、またがない場合は両端だけで大小を決めます。a の符号で最大と最小が入れかわるので注意します。

例題：y = x² で −2 ≦ x ≦ 3 のとき、原点をまたぐので最小はx = 0 で y = 0、最大は絶対値の大きい x = 3 で y = 9。よって 0 ≦ y ≦ 9。

ステップ 5：ステップ5: 通る点から a を逆算して向きを答える

「グラフが (p, q) を通る」と与えられたら、y = ax² に x = p, y = q を代入して a を求めます。求めた a の符号で上下の向き、|a| で開き方が分かります。他の x の値での y も、求めた式に代入すれば計算できます。

例題：(2, −12) を通るなら、−12 = a × 4 より a = −3。a < 0 なので下に開く。x = −3 のとき y = −3 × 9 = −27。

これだけは覚える

y = ax² は原点を頂点とする放物線で、y軸について左右対称。a の符号で上下、|a| の大きさで開き方が決まる。グラフは 5点プロット＋なめらかな曲線。変域は原点をまたぐかで最大・最小の取り方が変わる。

直線で結んでしまう（必ず曲線）、a の符号と開く向きを逆にする（代入して y の正負を確認）、x と −x で y が同じになる左右対称を無視する、変域で原点をまたぐのに両端だけで判断してしまうのが典型的な誤りです。