関数 y=ax² のテスト頻出パターン｜中3数学（数学）

4章関数 y=ax² のテスト頻出 5 パターン

定期テスト・入試で実際によく出る型を、答え方のコツとセットで整理しました。

パターン1：値の計算とaの決定を問う

📝 典型的な出題例：y=ax² のグラフが点(−3, 18)を通るとき、aの値を求めなさい。また、y=3x²でx=−2のときのyの値を求めなさい。

✅ 答え方のコツ：①与えられた点の座標をy=ax²に代入する。②x²を先に計算してからaを掛ける順番を守る。③aを求める問題は通る点を代入してaについての方程式を解く。yを求める問題は与えられたxを代入し、x²が正であることを確認してから符号を決める。

🔑 押さえる用語：y=ax², 代入, 比例定数a, x²

⚠️ ありがちなミス：xが負のときx²も負にしてしまうミス。x²は必ず正なので、aの符号がそのままyの符号を決めることを忘れない。

パターン2：グラフの向き・開き方・変域を問う

📝 典型的な出題例：y=−x² において −2 ≦ x ≦ 3 のとき、yの変域を求めなさい。また、y=(1/3)x² と y=3x² で開きが広いのはどちらか答えなさい。

✅ 答え方のコツ：①変域に原点(x=0)を含むかを必ず確認する。②a>0なら上に開きx=0で最小、a<0なら下に開きx=0で最大になる。③|a|が小さいほど開きが広い。④両端のxを代入してyを計算し、最大値と最小値を決める。

🔑 押さえる用語：変域, 放物線, 原点(0,0), |a|の大小

⚠️ ありがちなミス：原点をまたぐ変域なのに両端のxだけで判断し、x=0での最大or最小を見落とすミス。

パターン3：変化の割合を問う

📝 典型的な出題例：y=2x² において、xが−1から4まで変化するときの変化の割合を求めなさい。また、y=ax²でxが1→3のとき変化の割合が8のとき、aを求めなさい。

✅ 答え方のコツ：①公式変化の割合 = a(p+q)（xがp→q）を使う。②y=2x²でxが−1→4なら 2·(−1+4)=6。③aを求める問題は a(p+q)＝与えられた値として方程式を解く。④一次関数と違い変化の割合は一定でないことを意識する。

🔑 押さえる用語：変化の割合, a(p+q), yの増加量÷xの増加量

⚠️ ありがちなミス：1次関数と同じく変化の割合がaで一定だと思い込むミス。y=ax²では区間ごとに値が変わる。

パターン4：放物線と直線の交点を問う

📝 典型的な出題例：y=x² と y=x+6 の交点の座標を求めなさい。また、y=2x² と y=4x+6 の交点の座標を求めなさい。

✅ 答え方のコツ：①2つの式を連立してyを消去する。②できた2次方程式を整理し、因数分解で解く。例：x²=x+6 → x²−x−6=0 → (x−3)(x+2)=0。③求めたxを元の式に代入してyを出し、(x, y)の組で答える。

🔑 押さえる用語：連立方程式, 因数分解, 交点, 2次方程式

⚠️ ありがちなミス：xだけ求めて答えを終わらせるミス。交点は必ず(x, y)の座標として2つの値を書く必要がある。

パターン5：図形・現象への応用（三角形の面積・自由落下）を問う

📝 典型的な出題例：y=x² 上の2点 A(−1, 1)、B(2, 4) と直線 y=x+2 がある。三角形OABの面積を求めなさい。また、y=5x²（落下距離）で3秒後の落下距離を求めなさい。

✅ 答え方のコツ：①三角形は「直線のy切片を底辺、2点のx座標の差を高さ」とみなす。面積=(1/2)×y切片×|xA−xB|。例題は (1/2)·2·3=3。②自由落下は y=5x²にx=3を代入し 5·9=45（m）。2倍の時間で4倍、3倍の時間で9倍の関係も覚える。

🔑 押さえる用語：三角形の面積, y切片, 自由落下, y=(1/2)g·t²

⚠️ ありがちなミス：三角形の底辺と高さをxy座標の長さで考えず、図形の見た目だけで計算しようとして失敗するミス。

テスト直前は「代入→グラフの向きと変域→変化の割合 a(p+q)→連立で交点」の4ステップを順に解き直すのが最強。原点を含む変域と、変化の割合が一定でないことを必ず指差し確認してから本番に臨もう。