中点連結定理を解く・整理する5ステップ

各ステップをクリックすると詳しい説明と例が開きます。

ステップ 1：ステップ1: 2辺の中点になっているかを確認する

三角形の中で、2つの辺それぞれの中点を結んだ線分かどうかを最初に確かめます。中点が1つだけでは定理は使えません。AM = MB、AN = NC のように両側の長さが等しいか、図と条件を見比べて印を付けます。

例題：△ABC で AM = MB、AN = NC が確認できれば、M と N を結んだ MN に中点連結定理を使えます。

ステップ 2：ステップ2: 結んだ線分の向かい側の辺を見つける

中点 M、N を結んだら、その線分の向かい側にある第3の辺を特定します。MN の向かいは BC、というように、平行と長さ半分の相手になる辺を取り違えないことが大切です。図に矢印や色で印を入れると安全です。

例題：AB と AC の中点を M、N とすると、MN の相手は残る辺 BC。MN ∥ BC、MN = (1/2)BC と書き出します。

ステップ 3：ステップ3: 平行と長さ半分を同時に書き出す

中点連結定理は平行と長さ半分の2つを同時に結論できます。求めたいものが長さでも平行でも、まず MN ∥ BC と MN = (1/2)BC の両方を書き出してから、必要な方を使うとミスが減ります。

例題：BC = 10cm のとき MN = (1/2) × 10 = 5cm。逆に MN = 6cm なら BC = 2 × 6 = 12cm。

ステップ 4：ステップ4: 四角形では対角線を引いて三角形に分ける

四角形の中点を結ぶ問題では、対角線を1本引いて2つの三角形に分けるのが定石です。それぞれの三角形で中点連結定理を使うと、対角線と平行で長さが半分の線分が現れ、中点四角形が平行四辺形になることが示せます。

例題：四角形 ABCD で各辺の中点 P, Q, R, S を結ぶと、対角線 AC に注目して PQ ∥ AC、SR ∥ AC、PQ = SR = (1/2)AC となり、PQRS は平行四辺形。

ステップ 5：ステップ5: 「逆」を使う場面を見分ける

「中点を通り他の辺に平行な直線は、残りの辺の中点を通る」のが定理の逆です。条件に「中点を通る平行線」が出てきたら逆の出番。線分が中点を通ることや、辺の長さが2倍になることを示すときに使います。

例題：△ABC で AB の中点 M を通り BC に平行な直線が AC と交わる点を N とすると N は AC の中点。AN = 5 なら AC = 2 × 5 = 10。

これだけは覚える

三角形の2辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺と平行で長さは半分。逆に1辺の中点を通り他の辺に平行な直線は、もう1辺の中点を通る。四角形の各辺の中点を結ぶと必ず平行四辺形になる。

中点が1つだけで定理を使ってしまう、半分にする辺を取り違える（向かい側の辺ではなく隣の辺を見てしまう）、平行だけ示して長さ半分を忘れる、定理と逆を混同する、の4つに注意しましょう。