相似比と面積比・体積比 ── 2乗・3乗の関係の違い辞典｜中3数学（数学）

この章の比較ペア（まとめ表）

面積は縦×横の2方向の長さがどちらもm:n倍になるので、比はm²:n²になります。体積は縦×横×高さの3方向すべてがm:n倍になるので、比はm³:n³に。次元の数が2か3かで、2乗・3乗が決まると考えると分かりやすいです。

「相似比2:3だから面積比も2:3、体積比も2:3」と書きがち。面積は4:9、体積は8:27。次元が増えるごとに乗数も増えると覚えること。

「相似比m:nのとき面積比・体積比を求めよ」、または「面積比から相似比を求めよ」「体積比から相似比を求めよ」と聞かれる。2乗か3乗か、平方根か立方根かを間違えないことが鍵。

長さは1方向の量なので相似比そのまま。面積は長さ×長さで計算するため、両方の長さがm:n倍されてm²:n²になります。地図の縮尺1:50000のとき、長さは1/50000でも面積は1/25億になるのはこの理由です。

縮尺問題で「1:50000だから地図上1cm²は実際50000cm²」と長さ比のまま面積を出してしまう。実際は50000²＝25億倍。長さと面積で次元が違うことを忘れない。

「縮尺1:25000の地図上で◯cm²の土地は実際何m²か」「相似比m:nの図形の周の長さの比と面積の比をそれぞれ答えよ」と聞かれる。長さは1乗、面積は2乗を意識する。

表面積は「面の積」なので、立体でも結局は平面の集まりです。だから相似比m:nに対してm²:n²と、面積比と同じ2乗の関係になります。一方、体積は中身を満たす3次元の量なのでm³:n³。「平面は2乗、立体は3乗」と覚えると整理できます。

立体の話だからと表面積まで3乗の比にしてしまう。表面積は面の集まり＝平面なので2乗のまま。体積だけが3乗だと押さえる。

「相似比2:3の立体の表面積比と体積比をそれぞれ答えよ」のように2つを同時に聞かれることが多い。表面積は面積比と同じ扱いだと一瞬で判断できると速い。