5章相似を解く・整理する5ステップ

各ステップをクリックすると詳しい説明と例が開きます。

ステップ 1：ステップ1: 対応する頂点と辺を確認する

まず△ABC ∽ △DEF のように相似記号の順を見て、A↔D、B↔E、C↔F のように対応をそろえる。対応の順がそのまま比の設計図になるので、ここをまちがえると比例式がくずれる。図に印（同じ角・同じしるし）を書き込むと安全です。

例題：△ABC ∽ △DEF で AB=4、DE=6 のとき、対応辺の比は4:6 = 2:3。これが相似比になる。

ステップ 2：ステップ2: 相似条件のどれを使うかを決める

三角形の相似条件は3つ。①3組の辺の比が等しい（SSS）、②2組の辺の比とその挟む角が等しい（SAS）、③2組の角がそれぞれ等しい（AA）。入試の証明では2組の角（AA）が最頻出。共通角や平行線の同位角・錯角を探すと2組目の角が見つかる。

例題：△ABC で BC 上の点 D について ∠BAD=∠BCA のとき、共通角 ∠B も加えて2組の角が等しい → △ABD ∽ △CBA。

ステップ 3：ステップ3: 平行線と線分の比・中点連結定理を使い分ける

三角形の中でDE ∥ BC なら △ADE ∽ △ABC となり、AD:DB = AE:EC。M、N が AB、AC の中点なら、中点連結定理から MN ∥ BC かつ MN = BC ÷ 2。平行があるか中点があるかをまず確認しましょう。

例題：△ABC で DE ∥ BC、AD=4、DB=6、AE=8 のとき、4:6 = 8:EC よりEC = 12。BC=20 なら 4:10 = DE:20 でDE = 8。

ステップ 4：ステップ4: 面積比・体積比は相似比の2乗・3乗で出す

長さの比（相似比）がそのまま周の比になるが、面積比は相似比の2乗、体積比は相似比の3乗になる。逆に面積比・体積比から相似比を求めるときは、平方根・立方根をとる。式を立てる前に「いま何の比を求めているか」を口で言うとミスが減る。

例題：相似比 2:3 なら面積比は 4:9、体積比は 8:27。面積比 25:64 から相似比は5:8、体積比 27:64 から相似比は3:4。

ステップ 5：ステップ5: 実生活の縮尺・影の問題に当てはめる

縮尺1:n の地図では、実際の長さは地図上の長さの n 倍、実際の面積は地図上の面積の n² 倍になる。影の問題は、棒と影、木と影の高さ:影の比が等しいことを使う。最後は単位（cm、m、km）が合っているかを必ず見直しましょう。

例題：1m の棒の影が0.5m、木の影が10m → 高さ:影 = 2:1 だから木の高さは20m。縮尺 1:25000、地図上 4cm の実距離は 4×25000 = 100000cm = 1km。

これだけは覚える

相似条件は3つ（SSS・SAS・AA）、入試ではAA（2組の角）が中心。周の比 = 相似比、面積比 = 相似比²、体積比 = 相似比³。平行線と線分の比、中点連結定理（MN = BC ÷ 2）も必ず押さえる。

面積比を相似比と同じにする誤り（面積比は2乗）。対応する辺の順番をまちがえて比例式を作る。図がなんとなく似て見えるだけで相似と決めてしまう。長さの比と面積比をごちゃ混ぜにしないことが大切。