円周角の定理を解く・整理する5ステップ

各ステップをクリックすると詳しい説明と例が開きます。

ステップ 1：ステップ1: どの弧を見ているか確認する

円周角は頂点だけでなく、両端の点とどの弧を見ているかで決まります。まず角の両端A、Bを確認し、弧ABのうちどちら側を見ているのかを図に書き込みます。同じ弦でも反対側の弧なら別の角になるので、必ず弧に印をつけましょう。

例題：∠APBを見るとき、Pが弧ABの反対側にあるなら、対象は「Pから見えない方の弧AB」。図に色や矢印で印をつけて区別する。

ステップ 2：ステップ2: 中心角と円周角を見分ける

頂点が円の中心Oにあれば中心角、頂点が円周上の点Pにあれば円周角です。問題図の中で∠AOBと∠APBのどちらを聞かれているのか、必ず頂点の位置を確認します。位置を取り違えると、2倍と1/2を逆に使ってしまいます。

例題：頂点Oの角∠AOB＝中心角。頂点Pの角∠APB＝円周角。同じ弧ABを見ているなら∠APB ＝ ∠AOB ÷ 2。

ステップ 3：ステップ3: 円周角の定理を当てはめる

同じ弧を見ているなら、円周角＝中心角 ÷ 2、または中心角＝円周角 × 2を使います。求めたいのがどちらかを先に決めてから、与えられた角に2倍するか半分にするかを判断すると間違いません。

例題：中心角∠AOB＝80°なら円周角∠APB＝40°。逆に円周角35°なら中心角は70°。

ステップ 4：ステップ4: 直径と内接四角形を見逃さない

直径ABを見込む円周角は90°になります（半円の円周角）。直角三角形ができるので、三平方の定理と組み合わせやすい形です。また円に内接する四角形では、向かい合う角の和が180°になります。図に直径や四角形があれば、まずこの2つを疑いましょう。

例題：ABが直径、円周上にPがあり、AP＝6、BP＝8。∠APB＝90°なので三平方より AB²＝6²＋8²＝100、AB＝10。

ステップ 5：ステップ5: 同じ弧の円周角は等しいで結ぶ

同じ弧ABを見ている円周角は、頂点が円周上のどこにあってもすべて等しくなります。問題文や図に複数の点P、Qがあるときは、同じ弧を見ているかを確認し、等しい角どうしに同じ印（●や○）を入れると、相似や合同の証明にもつなげやすくなります。

例題：P、Qが弧ABに対して同じ側にあるとき、∠APB＝40°なら∠AQB＝40°。

これだけは覚える

円周角＝中心角÷2、中心角＝円周角×2。同じ弧の円周角はすべて等しい。直径の円周角は90°。円に内接する四角形は向かい合う角の和が180°。まず「どの弧・どの頂点」を確認するのが鉄則。

同じ弦を見ただけで角を等しいと決めてしまうのは×（対応する弧を確認）。中心角と円周角の2倍と1/2を逆に使うミス。直径という条件なしに90°を使ってしまうミス。一般のひし形は円に内接しない点にも注意。