6章円周角を解く・整理する5ステップ

各ステップをクリックすると詳しい説明と例が開きます。

ステップ 1：ステップ1: 何を求めるかと、どの弧かを確認する

問題文を読み、求めるのが角度・辺の長さ・半径のどれかを最初にはっきりさせる。次に図の中で、その角がどの弧を見込んでいるかを記号で追う。「弧AB」と書かれていても短い弧と長い弧の2通りあるので、図にどちら側かを書き込む。

例題：「∠APB を求めよ」なら、まず P が見ている弧 AB はどちら側かを確認。短い弧なら、その弧に対する中心角の半分が ∠APB になる。

ステップ 2：ステップ2: 使う性質を1つに絞る

次の4つから当てはまるものを選ぶ。(1)同じ弧の円周角は等しい (2)中心角＝円周角×2 (3)直径に立つ円周角は90°（タレス） (4)内接四角形の対角の和は180°。接線が出てきたら「接線と半径は垂直」「外部の1点から引いた2接線は等しい」も候補に入れる。

例題：中心角120°のとき同じ弧の円周角は 120÷2＝60°。内接四角形で∠A＝75°なら、向かい合う∠Cは 180−75＝105°。

ステップ 3：ステップ3: 直径や90°が隠れていないか探す

直径ABが見えたら、その上に立つ円周角は必ず90°（直角三角形）。直角ができれば三平方の定理が使え、辺の長さが計算できる。中心から弦までの距離、接線と半径も垂直なので、ここでも三平方が使える。

例題：直径AB＝10、AP＝6 のとき ∠APB＝90° なので、6²＋BP²＝10² → BP²＝64 → BP＝8。

ステップ 4：ステップ4: 辺の長さは相似か方べきの定理を使う

弦どうしが点Pで交わるときや、外部の点Pから2本の弦が出るときは方べきの定理 PA×PB＝PC×PD。これは「同じ弧の円周角は等しい」から導かれる相似がもと。まず2角相似を確認してから式を立てるとミスが減る。

例題：弦ABとCDが点Pで交わり、PA＝6、PB＝4、PC＝3 のとき、6×4＝3×PD → PD＝8。

ステップ 5：ステップ5: 答えの単位と根拠を見直す

角度は「°」、長さは数値のみ、と単位をそろえる。証明問題では「同じ弧だから」「直径だから」「対角の和180°だから」と等しい理由をはっきり書く。「円だから」だけではダメ。最後に図と数値が合っているかを目で確認する。

例題：∠ABP＝35°、直径ABなら ∠APB＝90° → ∠BAP＝180−90−35＝55°。理由は「直径に立つ円周角だから90°」と書く。

これだけは覚える

中心角＝円周角×2、同じ弧なら円周角は等しい、直径に立つ円周角は90°、内接四角形の対角の和は180°。この4つと、外部からの2接線の長さは等しい、接線と半径は垂直、を組み合わせれば章末問題は解ける。

「同じ弧」と「同じ弦」を混同して角を等しくしてしまう、中心角と円周角を同じ大きさにする、弧ABの短い側と長い側を取り違える、方べきを相似の確認なしに使う、「円だから等しい」と理由を書いてしまう、などが典型のミス。