三平方の定理平面への応用を解く・整理する5ステップ

各ステップをクリックすると詳しい説明と例が開きます。

ステップ 1：ステップ1: 直角三角形をさがす（なければ作る）

まず図の中に直角三角形があるかを確認します。なければ、対角線・高さの垂線・円の中心から弦への垂線などの補助線を引いて、直角三角形を作り出します。これができれば三平方の定理に持ち込めます。

例題：正三角形では頂点から底辺に垂線を下ろすと、30°-60°-90°の直角三角形ができます。

ステップ 2：ステップ2: 斜辺と他の2辺を見分ける

直角三角形が見つかったら、直角の向かい側の辺が斜辺であることを確認します。斜辺は必ず一番長い辺です。三平方の定理は「斜辺の2乗＝他の2辺の2乗の和」で、長さの和ではなく2乗の関係であることを忘れないようにします。

例題：縦3、横4の長方形の対角線は斜辺なので、対角線² ＝ 3² ＋ 4² ＝ 25、対角線＝ 5。

ステップ 3：ステップ3: 図形ごとの公式を使い分ける

よく出る形は公式として覚えておくと速いです。1辺aの正方形の対角線＝ a√2、1辺aの正三角形の高さ＝ (√3/2)a、面積＝ (√3/4)a²、縦a横bの長方形の対角線＝ √(a²＋b²)。どの条件が公式の文字に対応しているかを確かめてから当てはめます。

例題：1辺6cmの正三角形の高さ＝ (√3/2)・6 ＝ 3√3 cm、面積＝ (√3/4)・36 ＝ 9√3 cm²。

ステップ 4：ステップ4: 座標の距離は「横の差・縦の差」で考える

座標平面の2点 A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂) の距離は、横の差と縦の差を直角を挟む2辺とする直角三角形をイメージします。公式はAB ＝ √((x₂−x₁)² ＋ (y₂−y₁)²)。2乗するので、引き算の順序は気にしなくて大丈夫です。

例題：A(1, 2) と B(4, 6) の距離は、横の差3・縦の差4より √(9＋16) ＝ √25 ＝ 5。

ステップ 5：ステップ5: 平方根の答えを整える

答えは平方根のままで書き、必要なら√の中をできるだけ小さくします。割り切れないときは小数にせず√のまま残すのが基本です。単位（cm、cm²など）を最後に必ず確認します。

例題：円の弦：半径10、中心から弦までの距離6のとき、弦の半分＝ √(10²−6²) ＝ √64 ＝ 8、弦の長さは16。

これだけは覚える

三平方の定理は直角三角形だけで使える。斜辺は直角の向かい側で必ず一番長い辺。正方形の対角線はa√2、正三角形の高さは(√3/2)a、2点間距離は√((x差)²＋(y差)²)。

斜辺でない辺をcにしてしまう（直角の向かい側を確認していない）。a＋b＝cと書く（2乗の関係なのに長さの和にしてしまう）。正三角形の高さを辺の半分としてしまう（30°-60°-90°の比1:√3:2を使えていない）。