三平方の定理 空間への応用のテスト頻出パターン

📝 典型的な出題例：縦5、横6、高さ8の直方体の対角線の長さを求めなさい。また、1辺10の立方体の対角線の長さを求めなさい。

✅ 答え方のコツ：D = √(a² + b² + c²) の公式に当てはめる。なぜそうなるかは①底面の対角線（縦と横の三平方で√(a²+b²)）→②底面の対角線と高さで三平方の2段階。立方体（1辺a）はa√3と暗記。

🔑 押さえる用語：空間対角線, 面の対角線, √(a²+b²+c²), a√3

⚠️ ありがちなミス：「空間の斜めを直接足す」誤り。直角三角形を取り出さずに公式だけ使うと、どの長さが同じ平面にあるか分からなくなる。

📝 典型的な出題例：底面半径6、高さ8の円錐の母線の長さを求めなさい。また、母線5、高さ3の円錐の底面半径を求めなさい。

✅ 答え方のコツ：円錐の中に母線²=高さ²+半径²の直角三角形が隠れている。①頂点から底面の中心に垂線を下ろす②中心から円周までが半径③頂点から円周までが母線。求めたい辺を文字でおき三平方の式を立てる。

🔑 押さえる用語：母線, 高さ, 底面半径, 母線²=高さ²+半径²

⚠️ ありがちなミス：母線と高さを混同する誤り。母線は「頂点から円周まで（斜め）」、高さは「頂点から中心まで（垂直）」。立体内の直角三角形が見えていない。

📝 典型的な出題例：底面半径3、母線6の円錐の表面で、底面の周上の点Pから1周して戻る最短距離を求めなさい。

✅ 答え方のコツ：立体の表面を巻物を広げるように展開すると、最短経路は直線になる。①側面を展開して扇形にする②中心角は360°×(底面半径/母線)で求める③PからPへの直線距離（弦の長さ）を計算。中心角180°なら半円の直径が答え。

🔑 押さえる用語：展開図, 最短距離, 扇形, 中心角

⚠️ ありがちなミス：立体のまま曲線で測ろうとする誤り。展開図にして直線にする発想がないと解けない。中心角の計算ミスや、扇形のままで弧の長さを最短と誤認するミスにも注意。

📝 典型的な出題例：底面が1辺6の正方形、高さ4の正四角錐がある。頂点と底面の頂点を結ぶ側辺（側面の辺、頂点と底面の頂点を結ぶ辺）の長さを求めなさい。

✅ 答え方のコツ：①底面の対角線を求める（6√2）→②その半分（3√2）が「底面の中心から底面の頂点まで」の距離③高さ4と組み合わせて三平方で、側辺（この直角三角形では斜辺にあたる）=√(4²+(3√2)²)=√34。断面で直角三角形を取り出すのがコツ。

🔑 押さえる用語：正四角錐, 底面の対角線の半分, 断面, 側辺

⚠️ ありがちなミス：底面の対角線をそのまま使ってしまう誤り。直角三角形になるのは対角線の半分と高さ。同じ平面にない辺で三平方を使うミスが多い。

📝 典型的な出題例：縦4、横6、高さ3の直方体で、頂点Aから対角の頂点Gまで表面を通る最短距離を求めなさい。

✅ 答え方のコツ：A→Gを通る2面を平らに開いて展開図上で直線にする。どの2辺を一直線につなぐかで3通りある。①(横6＋高さ3を一直線にして縦4と組む)→√(4²+9²)=√97 ②(縦4＋高さ3を一直線にして横6と組む)→√(7²+6²)=√85 ③(縦4＋横6を一直線にして高さ3と組む)→√(10²+3²)=√109 → 最小の√85が答え。

🔑 押さえる用語：展開図, 表面上の最短距離, 直線, 比較

⚠️ ありがちなミス：1通りだけ計算して終わってしまう誤り。展開する方向は複数あり全部試す必要がある。最も短いものを選ぶのを忘れない。