この章でつまずきやすいところ
比例と反比例の問題を解いていると、式を立てる前に「これは比例？反比例？」で手が止まることが多いです。50問を解き進める途中で迷いやすい4つの場面を、見分け方と短い例で整理します。
反比例なのに a=y/x で求めてしまう
- つまずく場面：問題6で「y は x に反比例し、x=4 のとき y=6」を読み、つい比例の感覚で 6÷4 と書きそうになります。比例と反比例で a の求め方が違うことを忘れ、式を立てる前の段階で迷ってしまう場面です。
- 克服のコツ：見分け方で整理します。問題文に「比例」とあれば a = y ÷ x、「反比例」とあれば a = x × y です。「反」の字を見たら割り算をやめて掛け算に切り替える、と頭の中で合図を出すと迷いません。
- ミニ例：x=4, y=6 で反比例なら a = 4×6 = 24、式は y = 24/x。もし比例だったら a = 6÷4 = 3/2 で y = (3/2)x になります。
比例のグラフを「直線ならどれでもよい」と思い込む
- つまずく場面：問題17や問題19を見て「y=2x のグラフは直線」までは思い出せても、「必ず原点を通る直線」という条件が抜け落ち、原点を外れた直線を答えそうになる場面です。
- 克服のコツ：位置関係で覚えます。比例 y=ax は x=0 のとき y=0 になるので、必ず原点(0,0)を通るのが条件です。グラフを描くときは原点を起点に、もう1点を取って結ぶ、という順番にすると外れません。
- ミニ例：y=3x のグラフは原点を通り、もう1点 (1, 3) を取って結ぶ直線。原点を通らない直線（例：y=3x+1）は比例ではありません。
反比例で「xが2倍ならyも2倍」と考えてしまう
- つまずく場面：問題30や問題45を解く途中、x が 6→8 や −3→6 と変わるとき、比例のクセで「x が増えたら y も同じだけ増える」と直感的に考えて、y の値を大きくしすぎてしまう場面です。
- 克服のコツ：因果関係で整理します。反比例は x×y が一定。だから x が2倍になれば y は1/2倍、x が3倍なら y は1/3倍と、逆向きに動きます。「掛けて一定」を合言葉にすると迷いません。
- ミニ例：x=6, y=4 で a=24 のとき、x=8 にすると y は 24÷8 = 3。x が大きくなった分、y は小さくなる、と確認できます。
文章題で「比例か反比例か」を式の前に決められない
- つまずく場面：問題35と問題36のように「時速60kmで x 時間進む距離 y」と「60km を時速 x km で進む時間 y」が並ぶと、どちらが比例でどちらが反比例か、読んだだけでは判断がつかず手が止まる場面です。
- 克服のコツ：見分け方を「何が一定か」で揃えます。速さが一定で距離が変わるなら距離=速さ×時間で比例、距離が一定で速さが変わるなら時間=距離÷速さで反比例。「一定の量はどれ？」を最初に丸で囲むと迷いません。
- ミニ例：問題35は速さ60が一定 → y=60x（比例）。問題36は距離60が一定 → y=60/x（反比例）。長方形の面積24なら xy=24 で反比例です。
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基本（20問）── 比例・反比例の式と座標
問題1
y は x に比例し、x = 2 のとき y = 6。比例定数を求めなさい。
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a = y/x = 6/2 = 3
問題2
y は x に比例し、x = 3 のとき y = 12。式を求めなさい。
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a=4 → y = 4x
問題3
y = 5x で x = 4 のとき y を求めなさい。
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y = 20
問題4
y = 3x で y = 21 のとき x を求めなさい。
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21 = 3x → x = 7
問題5
y = −2x で x = 3 のとき y を求めなさい。
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y = −6
問題6
y は x に反比例し、x = 4 のとき y = 6。比例定数を求めなさい。
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a = xy = 24 → 比例定数 24
問題7
y は x に反比例し、x = 3 のとき y = 8。式を求めなさい。
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a=24 → y = 24/x
問題8
y = 12/x で x = 4 のとき y を求めなさい。
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y = 3
問題9
y = 18/x で y = 6 のとき x を求めなさい。
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6 = 18/x → x = 3
問題10
y = −12/x で x = 2 のとき y を求めなさい。
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y = −6
問題11
点(3, 5) は何象限か答えなさい。
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第1象限（x>0, y>0）
問題12
点(−2, 4) は何象限か答えなさい。
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第2象限
問題13
点(−3, −5) は何象限か答えなさい。
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第3象限
問題14
点(4, −1) は何象限か答えなさい。
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第4象限
問題15
原点の座標を答えなさい。
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(0, 0)
問題16
x軸上で原点から右に5の点の座標を答えなさい。
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(5, 0)
問題17
y = 2x のグラフは原点を通る直線か、双曲線か。
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原点を通る直線（比例のグラフ）
問題18
y = 6/x のグラフは何と呼ばれるか答えなさい。
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双曲線
問題19
比例 y=ax のグラフは必ずどの点を通るか。
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原点(0,0)
問題20
y = −3x で x が 1 増えると、y はいくつ変わるか。
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−3 増える（つまり 3 減る）
標準（20問）── 式の決定とグラフ
問題21
y は x に比例し、x=2 のとき y=−10。式を求めなさい。
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a=−5 → y = −5x
問題22
y=ax のグラフが点(4,12)を通るとき、a を求めなさい。
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12=4a → a = 3
問題23
y=a/x のグラフが点(2,6)を通るとき、a を求めなさい。
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a=2×6 = 12
問題24
y は x に反比例し、x=−4 のとき y=3。式を求めなさい。
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a=−12 → y = −12/x
問題25
y=4x で x の値が −2, 0, 3 のときの y の値を求めなさい。
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−8, 0, 12
問題26
y=−6/x で x の値が −3, −1, 2 のときの y の値を求めなさい。
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2, 6, −3
問題27
点(2, 8) と点(4, 16) を通る比例の式を求めなさい。
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a=8/2=4 → y = 4x
問題28
y=ax のグラフが点(−5, 15)を通る。a を求めなさい。
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15=−5a → a = −3
問題29
y は x に比例。x=8 のとき y=20。x=12 のときの y を求めなさい。
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a=20/8=5/2 → y=(5/2)×12 = 30
問題30
y は x に反比例。x=6 のとき y=4。x=8 のときの y を求めなさい。
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a=24 → y=24/8 = 3
問題31
y=2x のグラフは右上がりか右下がりか。
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a=2>0 なので 右上がり
問題32
y=−4x のグラフは右上がりか右下がりか。
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a=−4<0 なので 右下がり
問題33
y=5/x のグラフはどの象限を通るか。
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a=5>0 → 第1・第3象限
問題34
y=−8/x のグラフはどの象限を通るか。
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a=−8<0 → 第2・第4象限
問題35
時速60kmで x 時間進んだ距離 y km の式を答えなさい。比例か反比例か。
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y = 60x、 比例
問題36
距離 60km を時速 x km で進む時間 y 時間の式を答えなさい。比例か反比例か。
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y = 60/x、 反比例
問題37
1個 80円のリンゴ x 個の代金 y 円の式を答えなさい。
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y = 80x（比例）
問題38
面積 24cm² の長方形の縦 x cm と横 y cm の関係式を答えなさい。
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xy=24 → y = 24/x（反比例）
問題39
y=3x のグラフを描くために必要な点を、原点以外で1つ挙げなさい。
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x=1 のとき y=3 → (1, 3)（他に(2,6)など）
問題40
y=12/x の表を埋めなさい：x=1, 2, 3, 4, 6 のとき y=?
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y = 12, 6, 4, 3, 2
応用（10問）── 文章題と総合
問題41
12個のお菓子を x 人で等分するときの1人分の個数 y を式で表しなさい。
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y = 12/x（反比例）
問題42
底辺 4cm、高さ x cmの三角形の面積 y を式で表しなさい。
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y = 4x/2 = 2x（比例）
問題43
y=ax のグラフが点(2,6)を通り、x=−3 のときの y を求めなさい。
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a=3 → y=3×(−3) = −9
問題44
y は x に比例し、x が 2 増えると y は 6 増える。比例定数を求めなさい。
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変化の割合 = 6/2 = 3（比例定数）
問題45
y は x に反比例し、x=−3 のとき y=−4。x=6 のときの y を求めなさい。
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a=12 → y=12/6 = 2
問題46
アルミニウムの密度は 2.7g/cm³。体積 x cm³ の質量 y g の式を答えなさい。50cm³ の質量は？
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y = 2.7x。 50cm³ → 2.7×50 = 135 g
問題47
点(a, 8) が比例 y=4x のグラフ上にあるとき、a を求めなさい。
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8=4a → a = 2
問題48
点(3, b) が反比例 y=18/x のグラフ上にあるとき、b を求めなさい。
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b=18/3 = 6
問題49
「y は x の何乗かに比例する」関係で、x=2 のとき y=12、x=3 のとき y=27 となる関係式を求めなさい（中学範囲外、参考）。
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y/x² が一定（12/4=3、27/9=3）→ y = 3x² ※ 2次関係（中3）
問題50
「y は x に比例し、グラフが原点と点(−2, 8) を通る」とき、x=5 のときの y を求めなさい。
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a=8/(−2)=−4 → y=−4×5 = −20
もっと知る ── 発展・実生活（出典つき）
※ 教科書の内容に、信頼できる出典をもとにした発展・実生活・時事の話題を補足しています（教科書そのものではありません）。
アルミ缶が軽いのは「体積に比例する重さ」で見える実生活
アルミニウムの密度は約2.70g/cm³で、体積x cm³の重さy gはy=2.70xという比例の式になります。鉄の密度は約7.87g/cm³なので、同じ体積でもアルミは鉄の約3分の1の軽さです。比例定数(密度)が小さいほど、グラフの傾きがゆるく、同じ体積でも軽くなることが読み取れます。
オームの法則は「電流が電圧に比例する」関係発展
電気回路では、流れる電流Iは加えた電圧Vに比例し、V=RIという式で表されます。この比例定数Rが電気抵抗で、抵抗が決まればy=axとまったく同じ形の比例の関係になります。中学理科でも実験で確かめる、比例が役立つ代表例です。
ボイルの法則：空気を縮めると圧力が反比例で増える発展
温度を一定に保つと、気体の体積は圧力に反比例します。つまり圧力Pと体積Vの積PVが一定になり、y=a/xと同じ関係になります。注射器の先をふさいでピストンを押すと、体積が半分で押し返す力(圧力)が約2倍になるのは、この反比例のためです。
てこは「距離が長いほど小さい力」で動く反比例実生活
てこでは、支点から力点までの距離を長くするほど、ものを動かすのに必要な力は小さくてすみます。同じ重さのものを持ち上げる場合、必要な力は支点からの距離におよそ反比例し、距離が2倍なら力は約半分になります。せんぬきやくぎ抜きが小さな力で使えるのは、この関係を利用しているからです。
太陽系を歩いて体感する「縮尺」も比例の考え方発展
JAXAの教材では、太陽系を100億分の1に縮めた模型をつくり、惑星の間を歩いて宇宙の広さを体感します。模型上の距離yは実際の距離xに比例し、y=x÷100億という比例の式で求められます。縮尺は地図や設計図でも使われる、比例の身近な応用です。