2章 平方根 のテスト頻出 5 パターン
定期テスト・入試で実際によく出る型を、答え方のコツとセットで整理しました。
パターン1：平方根の定義と大小を問う
📝 典型的な出題例：次の値の平方根を求めなさい。また、√7 と 3 の大小を比べなさい。さらに √29 の整数部分を答えなさい。
✅ 答え方のコツ：「○の平方根」は±、「√○」は正の方だけと区別するのが第一歩。大小は、正の数なら2乗して中身どうしを比較します。整数部分は、はさみうちで「平方数を両側に置く」（例：25<29<36 だから5）と確実です。負の数の大小は不等号が逆転する点にも注意。
🔑 押さえる用語：平方根, ±√a, 整数部分, 大小比較
⚠️ ありがちなミス：「9の平方根」を3だけ、「√9」を±3と答える取り違え。また、負の数どうしの大小で不等号の向きを間違えやすい。
パターン2：根号の簡単化と乗除計算を問う
📝 典型的な出題例：次の計算をしなさい。(1) √50 (2) √72 (3) √3 × √5 (4) 2√3 × 4√5 (5) √48 ÷ √2
✅ 答え方のコツ：まず素因数分解して平方の組をつくるのがコツ。例：50=2×5² なので √50＝5√2。乗除は√a×√b＝√(ab)を使い、係数どうし・根号どうしで分けて計算します。最後に必ずa√b の形（中をできるだけ小さく）に整えて答えにします。
🔑 押さえる用語：素因数分解, a√b の形, √a×√b=√(ab), 平方数
⚠️ ありがちなミス：√12 を 6 にしてしまう（中身を半分にする誤り）。簡単化を忘れて √50 のまま答えにする失点も多い。
パターン3：有理化と加減計算を問う
📝 典型的な出題例：次の式を計算しなさい。(1) 1/√7 (2) √32 − √18 + √2 (3) √3 + 2/√3
✅ 答え方のコツ：分母に√があるときは分母と同じ√を分子分母にかけて有理化。加減は同類項（同じ√の項）どうしだけまとめるのがルール。√32＝4√2、√18＝3√2 のように先に簡単化→そろえてから加減の順で進めると確実です。分母が a+√b 型なら共役（a−√b）をかけます。
🔑 押さえる用語：有理化, 同類項, 共役, 分母を有理数に
⚠️ ありがちなミス：√2 + √3 を √5 にしてしまう（足し算は分配できない）。有理化を忘れて 1/√3 のまま提出してしまうのも頻出。
パターン4：乗法公式の応用を問う
📝 典型的な出題例：次の式を計算しなさい。(1) (√2 + √3)² (2) (√7 + 1)(√7 − 1) (3) (√3 + 2)(√3 + 5)
✅ 答え方のコツ：(a+b)²=a²+2ab+b²、(a+b)(a−b)=a²−b²を平方根に当てはめます。(√2+√3)² なら a²=2、b²=3、2ab=2√6 で5+2√6。(√7+1)(√7−1) は和と差の公式で7−1=6。展開後は有理数の項と√の項に分けて整理して答えます。
🔑 押さえる用語：(a+b)², (a+b)(a−b), 展開, 同類項の整理
⚠️ ありがちなミス：(√2+√3)² を 2+3=5 とだけ書いて中央の 2√6 を忘れる。和と差の積で b² の符号（マイナス）を取り違えるのも多い。
パターン5：式の値（代入・対称式・整数部分）を問う
📝 典型的な出題例：x = √2 + 1 のとき x² − 2x の値を求めなさい。また、√10 の整数部分を a、小数部分を b とするとき、b² + 6b の値を求めなさい。
✅ 答え方のコツ：そのまま代入は計算が重いので、式を変形してから代入するのがコツ。x²−2x なら(x−1)²−1に直し、x−1=√2 から (√2)²−1＝1。対称式はx²+y²=(x+y)²−2xyを使います。整数部分・小数部分の問題は、はさみうちで a を決めてb＝√10−aと置くのが定石です。
🔑 押さえる用語：対称式, x²+y²=(x+y)²−2xy, 整数部分・小数部分, 式変形
⚠️ ありがちなミス：x=√2+1 をそのまま 2乗してしまい計算が複雑化する。小数部分を「3.16…の0.16…」と数値で扱ってしまい、√10−3 と式で置けない。
テスト前の総仕上げ
テスト前は 「定義（±）」「簡単化」「有理化」「乗法公式」「式の値」 の5系統を1問ずつ解き直しましょう。途中式を必ず書くこと、答えはa√b の形・分母に√を残さないこと――この2点を守るだけで失点を大きく減らせます。
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出典・最終更新
- 出典基盤：教科書（数学）の核となる出題ポイントと、定期テスト・入試の頻出傾向を踏まえた整理。
- 編集方針：中学定期テスト・入試の頻出パターンを、出題の型ごとに整理し、答え方のコツとよくあるミスをセットで提示しています。
- 最終更新：2026-07-07