関数 y = ax² のテスト頻出パターン｜中3数学（数学）

関数 y = ax² のテスト頻出 5 パターン

定期テスト・入試で実際によく出る型を、答え方のコツとセットで整理しました。

パターン1：式にxを代入してyを求める

📝 典型的な出題例：y = 3x² について、x = −2 のときの y の値を求めよ。また y = −2x² で x = 4 のときの y も答えよ。

✅ 答え方のコツ：まず(−2)² は +4 のように、2乗を先に計算してから a をかけます。手順は ①xを式に代入 → ②x² を計算（符号は必ず+） → ③ a を掛ける、の3ステップ。aの符号と2乗の符号を分けて処理するとミスが減ります。

🔑 押さえる用語：代入, 2乗, 比例定数a, 符号

⚠️ ありがちなミス：(−2)² を −4 と書いてしまうミス。2乗の値は必ず0以上で、xの符号と関係なく+になります。

パターン2：通る1点から比例定数aを求める

📝 典型的な出題例：関数 y = ax² が点 (3, 18) を通るとき a の値を求めよ。また (−2, −12) を通るときの a も答えよ。

✅ 答え方のコツ：1点が分かれば a が決まるのがこの関数の特徴。①与えられたx, yを y = ax² に代入 → ②x² を計算 → ③ a について解く、の流れです。たとえば 18 = a·3² = 9a なので a = 2。負の点でも x² は+になることを忘れずに。

🔑 押さえる用語：比例定数a, 代入, 式の決定

⚠️ ありがちなミス：x² に負号を残してしまい a の符号を逆にするミス。(−2)² は +4 なので a = −12 ÷ 4 = −3 です。

パターン3：対応表を作って性質を読み取る

📝 典型的な出題例：関数 y = −x² について、x = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 の対応表を作り、−3 ≦ x ≦ 3 における y の最大値と最小値を求めよ。

✅ 答え方のコツ：①各xを代入してyを計算 → ②表に書く → ③表から最大・最小を選ぶ。a < 0 なら y は0以下で x = 0 のとき最大 y = 0。xと−xでyは同じになるので、左右対称をチェックすると検算になります。

🔑 押さえる用語：対応表, 左右対称, 最大値, 最小値

⚠️ ありがちなミス：a が負なのに y を正で書いてしまうミス。a < 0 では y ≦ 0、a > 0 では y ≧ 0 と覚えましょう。

パターン4：比例・一次関数との違いを答える

📝 典型的な出題例：y = ax²、y = ax、y = ax + b の3つについて、グラフの形、原点を通るかどうか、xの符号を変えたときのyの変化を比べよ。

✅ 答え方のコツ：表で整理するのがコツ。y = ax² は放物線で必ず原点を通り、xの符号を変えてもyは変わりません。y = ax は直線で原点を通り、xの符号でyも反転。y = ax + b は直線でbの分だけずれます。「2乗で反転しない」が決め手。

🔑 押さえる用語：比例, 一次関数, 放物線, 原点

⚠️ ありがちなミス：「xを2倍にしたらyも2倍」と一次関数のクセで答えてしまうミス。y = ax² では x が2倍になると y は4倍です。

パターン5：yの値からxを逆算する

📝 典型的な出題例：関数 y = (1/2)x² で y = 8 になるときの x の値を求めよ。

✅ 答え方のコツ：①式にyを代入 → ②両辺をaで割って x² の形に → ③ x = ±√… で答える。8 = (1/2)x² なら x² = 16 で x = ±4。正と負の2つの答えになることが多いので、片方だけで止めないように注意します。

🔑 押さえる用語：逆算, 平方根, ±, 2つの解

⚠️ ありがちなミス：x = 4 だけを答えて x = −4 を書き忘れるミス。y = ax² では xと−xで同じ y になるので、ふつう答えは2つです。

テスト前は「代入してyを求める」「1点からaを求める」「対応表から性質を読む」の3型を順に解き直しましょう。(−x)² = x²とaの符号でyの正負が決まるの2つを声に出して確認すると、計算ミスがぐっと減ります。