円周角の応用 ── 円と相似の融合 のテスト頻出 5 パターン
定期テスト・入試で実際によく出る型を、答え方のコツとセットで整理しました。
パターン1：2弦の交点で相似を示し、長さを求める
📝 典型的な出題例：円の中で弦 AB と CD が点 P で交わっている。PA=6、PB=4、PC=3 のとき、PD の長さを求めなさい。また △PAC ∽ △PDB であることを示しなさい。
✅ 答え方のコツ：まず弧 BC に対する円周角から ∠CAP = ∠BDP、対頂角から ∠APC = ∠DPB を示し、2組の角が等しいので相似を確定します。対応辺の比から PA:PD = PC:PB を立て、これを変形して PA·PB = PC·PD を計算します。6×4=3×PD なので PD=8。
🔑 押さえる用語：円周角の定理, 三角形の相似, 対頂角
⚠️ ありがちなミス：違う弧に対する円周角を等しいとしてしまうミス。どの弧に対する角かを図に印で明示することを忘れがちです。
パターン2：接線と半径の直交から三平方で長さを求める
📝 典型的な出題例：点 P から円 O に接線 PT を引いた。接点 T、PT=12、PO=13 のとき、円の半径 r を求めなさい。
✅ 答え方のコツ：接線は接点で半径と垂直なので ∠OTP=90°、△OPT は直角三角形です。三平方の定理で r² + PT² = PO² を立て、r² + 12² = 13² → r² = 25 → r = 5。最初に「接線が出たら半径を引く」と判断するのがコツ。
🔑 押さえる用語：接線, 半径, 三平方の定理, 直角三角形
⚠️ ありがちなミス：接線と半径が垂直になるのを忘れて、ふつうの三角形として処理してしまうミス。接点での直交を最優先で書き込みましょう。
パターン3：外部点からの2本の接線の長さが等しいことを使う
📝 典型的な出題例：円 O の外部の点 P から、2本の接線を引いて接点を T, T' とする。PT=8 のとき PT' の長さを求め、PT=PT' となる理由を説明しなさい。
✅ 答え方のコツ：外部点からの2接線の長さは等しいので PT'=8。理由は、△OPT と △OPT' で OP 共通、OT=OT'（半径）、∠OTP=∠OT'P=90° より直角三角形の合同が言えるからです。図に直角と半径の等しさを書き込むと示しやすいです。
🔑 押さえる用語：2接線の性質, 合同, 半径, 接点
⚠️ ありがちなミス：「同じ長さに見えるから」と直感だけで答えてしまうミス。直角・共通辺・半径の等しさという合同条件を必ず書きましょう。
パターン4：円に内接する四角形と相似で長さを求める
📝 典型的な出題例：円に内接する四角形 ABCD があり、対角線 AC と BD が点 P で交わる。PA=4、PC=6、PB=3 のとき、PD の長さを求めなさい。また △ABP ∽ △DCP であることを示しなさい。
✅ 答え方のコツ：弧 AD に対する円周角から ∠ABP = ∠DCP、対頂角から ∠APB = ∠DPC を示し、2組の角が等しいので △ABP ∽ △DCP を確定します。対応辺の比から PA:PD = PB:PC が成り立ち、4:PD = 3:6 なので PD=8。同じ弧の円周角を見つけて相似につなぐ流れが基本です。
🔑 押さえる用語：円に内接する四角形, 円周角の定理, 三角形の相似, 対頂角
⚠️ ありがちなミス：対応する頂点の順番を取り違えて比を立ててしまうミス。どの角とどの角が等しいかを図に印で書き込んでから比を立てましょう。
パターン5：補助線を引いて円周角・相似につなげる
📝 典型的な出題例：円 O の周上に4点 A, B, C, D がある。直径が見える、または中心 O が与えられた図で、∠ABC や辺の長さを求めなさい。
✅ 答え方のコツ：中心 O と円周上の点を結ぶと半径ができ、二等辺三角形が現れます。直径の端点が見えるなら直径に対する円周角は 90°を使って直角三角形を作ります。次に、同じ弧に対する円周角を探して2組の等しい角→相似へつなぎ、辺の比や三平方で計算します。
🔑 押さえる用語：補助線, 直径と円周角, 二等辺三角形, 相似条件
⚠️ ありがちなミス：補助線を引かずに与えられた線分だけで考えてしまうミス。「中心があれば半径」「直径があれば直角」を合言葉にしましょう。
テスト前の総仕上げ
円の応用の合言葉は 「円周角 → 2角 → 相似 → 辺の比 → 三平方」。図に同じ弧の印・直角・等しい長さを必ず書き込み、接線が出たら半径、直径が出たら 90° を即座に補助線として用意しましょう。
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出典・最終更新
- 出典基盤：教科書（数学）の核となる出題ポイントと、定期テスト・入試の頻出傾向を踏まえた整理。
- 編集方針：中学定期テスト・入試の頻出パターンを、出題の型ごとに整理し、答え方のコツとよくあるミスをセットで提示しています。
- 最終更新：2026-07-07