三平方の定理 のテスト頻出 5 パターン
定期テスト・入試で実際によく出る型を、答え方のコツとセットで整理しました。
パターン1：斜辺の長さを求める
📝 典型的な出題例：直角を挟む2辺の長さが6cmと8cmの直角三角形がある。斜辺の長さを求めなさい。
✅ 答え方のコツ：斜辺をcと置き、a²+b²=c²に代入するだけ。ステップは①直角の位置と斜辺を確認、②a²+b²を計算、③平方根をとってc=√(a²+b²)。例：6²+8²=36+64=100だからc=10。割り切れないときは√のまま残し、できれば素因数分解で外に出す。
🔑 押さえる用語：斜辺, 直角を挟む2辺, a²+b²=c², 平方根
⚠️ ありがちなミス：整数にならない答えで√の中を整理し忘れる、または斜辺でない辺をcに置いて式を立ててしまうミス。
パターン2：直角を挟む辺の長さを求める
📝 典型的な出題例：斜辺の長さが13cm、直角を挟む1辺の長さが5cmの直角三角形がある。もう1つの辺の長さを求めなさい。
✅ 答え方のコツ：斜辺の2乗から、わかっている辺の2乗を引く。ステップは①5²+b²=13²と式を立てる、②b²=13²-5²=169-25=144、③b=√144=12。引き算の順序を間違えるとマイナスになって解けなくなるので、必ず「斜辺²−他辺²」の向きを守る。
🔑 押さえる用語：斜辺, 移項, b²=c²-a², 平方根
⚠️ ありがちなミス：斜辺と直角を挟む辺を取り違え、a²+b²の形のまま引き算せずに計算してしまうミス。
パターン3：直角三角形かどうかを判定する（三平方の逆）
📝 典型的な出題例：次の3辺をもつ三角形は直角三角形かどうか答えなさい。(1) 8, 15, 17 (2) 5, 6, 8 (3) 9, 40, 41
✅ 答え方のコツ：三平方の逆を使う。ステップは①3辺のうち最も長い辺をcと決める、②a²+b²を計算、③c²と等しければ直角三角形、違えば直角三角形ではない。例(1)8²+15²=64+225=289=17²なので直角三角形。差が1や2しかなくても、等しくなければ直角ではない。
🔑 押さえる用語：三平方の逆, 最長辺, a²+b²=c², 直角三角形の判定
⚠️ ありがちなミス：最長辺以外をcに置くと a²+b²=c² の関係が成り立たず誤判定してしまう。必ず最も長い辺を斜辺(c)と置くのがルール。
パターン4：特別な直角三角形（45°と30°-60°）の比を使う
📝 典型的な出題例：直角を挟む2辺の長さが5cmの直角二等辺三角形の斜辺の長さを求めなさい。また、30°-60°-90°の直角三角形で30°の対辺が4のとき、残りの2辺の長さを答えなさい。
✅ 答え方のコツ：角度を見たら比で解く。①直角二等辺（45°-45°-90°）は1:1:√2。直角を挟む辺が5なら斜辺は5√2。②30°-60°-90°は1:√3:2。30°の対辺(最短)を1とみなし、その値×√3で60°の対辺、×2で斜辺を求める。30°の対辺が4なら、60°の対辺=4×√3=4√3、斜辺=4×2=8。どの角の対辺かを必ず確認する。
🔑 押さえる用語：1:1:√2, 1:√3:2, 45°-45°-90°, 30°-60°-90°
⚠️ ありがちなミス：30°と60°の対辺を入れ替え、4√3と4の位置を逆にしてしまうミス。最短辺は最小角(30°)の向かい側。
パターン5：整数比（ピタゴラス数）を利用して暗算する
📝 典型的な出題例：次の直角三角形の?にあてはまる長さを求めなさい。(1) 3,4,? (2) 5,12,? (3) 斜辺25、1辺7のとき残りの辺
✅ 答え方のコツ：3:4:5、5:12:13、8:15:17、7:24:25の4つは覚えておくと一瞬で答えが出る。ステップは①与えられた2辺の比に注目、②知っている整数比に当てはまるか確認、③当てはまればもう1辺を即答。例(3)は7:24:25の組なので残りは24。当てはまらないときは普通にa²+b²=c²で計算。
🔑 押さえる用語：3:4:5, 5:12:13, 8:15:17, 7:24:25
⚠️ ありがちなミス：整数比を倍した形（例：6,8,10や9,12,15）に気づかず、毎回大きな数を2乗して計算ミスしてしまうこと。
テスト前の総仕上げ
テスト直前は「斜辺はどれ？」を口グセに。図に直角マークと斜辺の印を入れてから式を立てれば9割の事故は防げます。3:4:5と5:12:13、1:1:√2と1:√3:2を即答できるように暗記しておけば、入試の多くの基本問題はカバーできます。
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出典・最終更新
- 出典基盤：教科書（数学）の核となる出題ポイントと、定期テスト・入試の頻出傾向を踏まえた整理。
- 編集方針：中学定期テスト・入試の頻出パターンを、出題の型ごとに整理し、答え方のコツとよくあるミスをセットで提示しています。
- 最終更新：2026-07-07