三平方の定理 平面への応用 のテスト頻出 5 パターン
定期テスト・入試で実際によく出る型を、答え方のコツとセットで整理しました。
パターン1：正方形・長方形の対角線の長さを問う
📝 典型的な出題例：1辺が8cmの正方形の対角線の長さを求めなさい。また、縦5cm、横12cmの長方形の対角線の長さを求めなさい。
✅ 答え方のコツ：正方形は対角線=a√2、長方形は対角線=√(a²+b²)を使います。手順は(1)縦と横を直角を挟む2辺と確認、(2)斜辺²=縦²+横²で式を立てる、(3)平方根を簡単にする。1辺8の正方形なら8√2、縦5横12の長方形なら√(25+144)=13。
🔑 押さえる用語：対角線, 斜辺, a√2, √(a²+b²)
⚠️ ありがちなミス：対角線と1辺を足してしまうミス。長さの関係ではなく2乗の関係であることを忘れて、a+b=cと書いてしまう例が多いです。
パターン2：正三角形の高さと面積を問う
📝 典型的な出題例：1辺が6cmの正三角形がある。この正三角形の高さと面積をそれぞれ求めなさい。
✅ 答え方のコツ：頂点から底辺に垂線を下ろし、30°-60°-90°の直角三角形を取り出します。手順は(1)底辺の半分はa/2、(2)高さ²=a²−(a/2)²=3a²/4、(3)高さ=(√3/2)a、面積=(√3/4)a²。1辺6なら高さ3√3cm、面積9√3cm²。
🔑 押さえる用語：正三角形, 補助線, 30°-60°-90°, (√3/2)a
⚠️ ありがちなミス：高さを「辺の半分」と勘違いするミス。垂線を下ろしてできる直角三角形の斜辺は辺a、底辺はa/2であることを忘れがちです。
パターン3：座標平面上の2点間の距離を問う
📝 典型的な出題例：座標平面上の2点A(−2, 3)とB(3, −1)について、線分ABの長さを求めなさい。
✅ 答え方のコツ：xの差とyの差を直角を挟む2辺と考えます。手順は(1)x座標の差を計算、(2)y座標の差を計算、(3)AB=√((x差)²+(y差)²)に代入。例ではx差5、y差−4なので、AB=√(25+16)=√41。差は2乗するので引き算の順序は気にしなくてよい。
🔑 押さえる用語：2点間距離, x座標の差, y座標の差, √((x差)²+(y差)²)
⚠️ ありがちなミス：符号の処理を間違えて、差を2乗する前に正負で消してしまうミス。2乗するので必ず正の数になることを意識しましょう。
パターン4：円と弦の長さを問う
📝 典型的な出題例：半径13cmの円がある。円の中心から弦までの距離が5cmのとき、この弦の長さを求めなさい。
✅ 答え方のコツ：中心から弦に垂線を下ろすと弦を2等分します。手順は(1)半径r、中心から弦までの距離d、弦の半分ℓ/2の直角三角形を作る、(2)(ℓ/2)²+d²=r²で立式、(3)ℓ=2√(r²−d²)。例では弦の半分=√(169−25)=√144=12、よって弦の長さ24cm。
🔑 押さえる用語：弦, 半径, 中心からの距離, 垂線
⚠️ ありがちなミス：求めた√(r²−d²)をそのまま弦の長さにしてしまうミス。これは弦の半分なので、最後に2倍するのを忘れないようにしましょう。
パターン5：二等辺三角形の高さや面積を問う
📝 典型的な出題例：底辺が16cm、等しい2辺がそれぞれ17cmの二等辺三角形がある。この三角形の面積を求めなさい。
✅ 答え方のコツ：頂点から底辺に垂線を下ろし、底辺の中点で2つの直角三角形に分けます。手順は(1)底辺の半分=16÷2=8、(2)高さ²=17²−8²=225、高さ=15、(3)面積=(1/2)×底辺×高さ=(1/2)×16×15=120cm²。等辺が斜辺になることを確認。
🔑 押さえる用語：二等辺三角形, 垂線, 底辺の中点, 斜辺
⚠️ ありがちなミス：等辺17を直角を挟む辺にしてしまうミス。斜辺は直角の向かい側にあって最も長い辺なので、等辺(17)が斜辺、底辺の半分(8)と高さが直角を挟む2辺になります。
テスト前の総仕上げ
テスト前は「直角三角形を探す／補助線で作る」という共通手順を声に出して確認しましょう。5つの頻出型（正方形対角線a√2／長方形対角線√(a²+b²)／正三角形高さ(√3/2)a・面積(√3/4)a²／2点間距離√((x差)²+(y差)²)／弦2√(r²−d²)／二等辺三角形は垂線で2つの直角三角形に分割）を図とセットで覚えるのが合格への近道です。
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出典・最終更新
- 出典基盤：教科書（数学）の核となる出題ポイントと、定期テスト・入試の頻出傾向を踏まえた整理。
- 編集方針：中学定期テスト・入試の頻出パターンを、出題の型ごとに整理し、答え方のコツとよくあるミスをセットで提示しています。
- 最終更新：2026-07-07