平方根の乗除 のテスト頻出 5 パターン
定期テスト・入試で実際によく出る型を、答え方のコツとセットで整理しました。
パターン1：√a×√b、√a÷√b の基本計算を問う
📝 典型的な出題例：次を計算しなさい。(1) √3×√7 (2) √10×√2 (3) √24÷√6 (4) √45÷√5。最も簡単な形で答えなさい。
✅ 答え方のコツ：√a×√b=√(ab)、√a÷√b=√(a/b) をそのまま使う。①まず根号内どうしを掛ける（割る）。②計算後の数を素因数分解し、平方数があれば必ず外に出す。たとえば √10×√2=√20=2√5。割り算は分数の形にして根号内を約分する。
🔑 押さえる用語：ルートの積, ルートの商, 簡単化, 平方因数
⚠️ ありがちなミス：√a×√b を √(a+b) としてしまう誤り。掛け算と足し算の規則を混同しているので、必ず「中身どうしを掛ける」と確認する。
パターン2：a√b の形への簡単化を問う
📝 典型的な出題例：次のルートを a√b の形に簡単化しなさい。(1) √8 (2) √12 (3) √48 (4) √98 (5) √200。
✅ 答え方のコツ：√(a²b)=a√b を使う。①中の数を素因数分解する。②2乗のペアを見つけ、外へ出す。例：√200=√(10²×2)=10√2。大きな数は2でくくる→3でくくる…と順に割っていくと2乗ペアが見えやすい。最後に根号内に平方因数が残っていないかを必ず確認する。
🔑 押さえる用語：素因数分解, 平方数, a√b の形, 簡単化
⚠️ ありがちなミス：√8 を答えに残してしまう誤り。8=4×2 なので 2√2 まで直すのが完成形。根号内に平方因数が残ったままだと減点になる。
パターン3：係数つきルートの掛け算を問う
📝 典型的な出題例：次を計算しなさい。(1) 2√3×3√5 (2) 4√2×√6 (3) 3√6×2√15。答えは最も簡単な形にしなさい。
✅ 答え方のコツ：係数どうし、ルートどうしを分けて掛けるのが鉄則。①外の整数だけを先に掛ける。②√の中身だけを掛ける（√a×√b=√(ab)）。③最後に根号内を簡単化する。例：3√6×2√15＝(3×2)×√(6×15)＝6×√90＝6×3√10＝18√10。
🔑 押さえる用語：係数, 根号, a√b の構造, 簡単化
⚠️ ありがちなミス：√の外の係数を中に入れてしまう、または最後の簡単化を忘れる誤り。4√2×√6=4√12 で止めず、4×2√3=8√3 まで直す。
パターン4：(a√b)² の形の2乗計算を問う
📝 典型的な出題例：次の値を求めなさい。(1) (3√2)² (2) (2√3)² (3) (2√5)²×√3。
✅ 答え方のコツ：(a√b)²=a²×b として、係数と根号を別々に2乗する。①係数を2乗（3²=9 など）。②√bの2乗は中身そのもの（(√2)²=2）。③それらを掛ける。例：(3√2)²＝9×2＝18。(2√5)²×√3＝20×√3＝20√3 のように、整数になった後に残りのルートを掛ける。
🔑 押さえる用語：(√a)²=a, 係数の2乗, 平方
⚠️ ありがちなミス：係数を2乗し忘れる誤り。(3√2)²を3×2=6としてしまう例が多い。係数も必ず2乗する。
パターン5：素因数分解で大きな数のルートを簡単化させる
📝 典型的な出題例：√504 を a√b の形に直しなさい。また、その求め方を式で説明しなさい。
✅ 答え方のコツ：①素因数分解を順に進める：504=2×252=2²×126=2²×2×63=2²×2×3²×7。②2乗ペア（2² と 3²）を√の外に出す。③残りを根号内にまとめる。式は √504=√(2²×3²×14)=6√14。大きな数ほど小さな素数から順に割る習慣をつける。
🔑 押さえる用語：素因数分解, 2乗ペア, a√b の形
⚠️ ありがちなミス：平方数を1つだけ外に出して終わりにする誤り。2²と3²の両方を外に出して 2×3=6 とまとめる必要がある。
テスト前の総仕上げ
テスト前は「中身どうしを掛けて、最後に簡単化」の流れを声に出して練習しよう。答えに √8 や √12 のような平方因数が残ったルートを書かないことが満点へのカギ。素因数分解の速さも合否を分ける。
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出典・最終更新
- 出典基盤：教科書（数学）の核となる出題ポイントと、定期テスト・入試の頻出傾向を踏まえた整理。
- 編集方針：中学定期テスト・入試の頻出パターンを、出題の型ごとに整理し、答え方のコツとよくあるミスをセットで提示しています。
- 最終更新：2026-07-07