たし算を数直線で見る
小学校でも 3 + 2 ＝ 5 を「数直線で右に2つ進む」と習ったかもしれません。中学では：
- 正の数を足す＝右に進む
- 負の数を足す＝左に進む
教科書では、東西にのびる道を歩く場面で考えます。東への移動を正、西への移動を負と決めると、たし算は「1回目の移動のあと、続けて2回目の移動をする」ことを表します。
(+3) + (+5)：東へ3m進み、さらに東へ5m進む → 東へ8m → +8
(+3) + (−5)：東へ3m進み、そこから西へ5m進む → 西へ2m → −2
この「続けて動く」イメージが、正負の数の加法の土台です。
2つのルールに分けて覚える
計算を速くするには、数直線のイメージを毎回描かなくて済むようにします。同符号か 異符号かで2パターンあります。
絶対値の和に、共通の符号をつける。
- (+3) + (+5) = +(3+5) = +8
- (−3) + (−5) = −(3+5) = −8
同方向に進めば足し合わせるだけ。
絶対値の差に、絶対値の大きいほうの符号をつける。
- (+8) + (−3) = +(8−3) = +5 （+8のほうが絶対値大）
- (+3) + (−8) = −(8−3) = −5 （−8のほうが絶対値大）
- (+5) + (−5) = 0 （絶対値が同じ ＝ 打ち消し合う）
逆方向に進む分は引き算で打ち消し合う。
なぜ異符号では「差」を考えるのか
異符号のたし算は、向きが反対の移動を続ける計算です。右へ進んだ分と左へ戻った分が重なって、重なったところは打ち消し合います。残るのは、大きいほうの絶対値から小さいほうの絶対値を引いた分だけです。
+8 は「右へ8」、−3 は「左へ3」。
右へ進んだ8のうち、左へ戻る3が打ち消す。
残りは右へ 8−3=5。だから (+8)+(−3)=+5。
+3 は「右へ3」、−8 は「左へ8」。
右へ進んだ3は、左へ戻る8の一部で打ち消される。
残りは左へ 8−3=5。だから (+3)+(−8)=−5。
- 同符号：答えの符号はすぐ決まる。+ と + なら +、− と − なら −。
- 異符号：絶対値の大きいほうを見る。大きいほうが + なら答えは +、大きいほうが − なら答えは −。
- 絶対値が同じ異符号：全部打ち消し合うので 0。0には + も − もつけない。
覚え方：たし算は「向き × 大きさ」
正負の加法は 2段階 で考えます：
- 符号を決める ── 同符号なら共通の符号、異符号なら絶対値が大きい方の符号
- 絶対値を計算 ── 同符号なら足す、異符号なら引く
①異符号 → 絶対値が大きい +7 の + をつける
②絶対値の差：7 − 4 = 3
答え：+3
①同符号（両方マイナス） → 共通の − をつける
②絶対値の和：9 + 6 = 15
答え：−15
①異符号 → 絶対値の差を計算
②絶対値の差：5 − 5 = 0
答え：0 （絶対値が同じ異符号は0になる）
- 符号の決定を忘れる：絶対値だけ計算して符号をつけ忘れる。
- 異符号で「足し算」してしまう：(+8)+(−3) = 11 などのミス。異符号は 引き算。
- 0 の扱い：a + (−a) = 0（互いに打ち消す）を忘れない。
途中式の書き方
計算そのものは短くても、慣れるまでは途中式を1行書くとミスが減ります。特に異符号のときは、符号を決める行と絶対値を計算する行を分けると安定します。
(+12) + (−7)
= +(12−7) ← 絶対値は12の方が大きいので、答えは +
= +5
(−12) + (+7)
= −(12−7) ← 絶対値は12の方が大きく、−12 側が勝つ
= −5
「12−7」だけを先に見て +5 と決めてしまうと、後ろの例で間違えます。どちらの符号が勝つかを先に確認してください。
加法の交換法則・結合法則
正負の数のたし算でも、小学校で習った2つの法則が成り立ちます。
- 交換法則：a + b ＝ b + a （順番を入れ替えてもよい）
- 結合法則：(a + b) + c ＝ a + (b + c) （どこから足してもよい）
3つ以上の数をたすときは、同符号どうしを先にまとめると計算が楽になります。
例：(+5) + (−3) + (+2) + (−7) = ？
正の数どうしと負の数どうしをまとめる：
= (+5 + +2) + (−3 + −7)
= (+7) + (−10)
= −3
式の順番を入れ替えてよいので、正の数どうし・負の数どうしを先に集めます。途中で左から順番に計算しても解けますが、同符号でまとめる方が暗算しやすく、符号ミスも減ります。
この章でつまずきやすいところ
正負の数のたし算は、ルールを丸暗記すると同符号と異符号がごちゃごちゃになりやすい単元です。本文を読んでいる途中で「あれ、ここは足すんだっけ引くんだっけ？」と迷う代表的な場面を、数直線の向きや符号の決め方で整理し直します。
異符号でも絶対値を足してしまう
- つまずく場面：本文の (+3)+(−8) を読み始めたとき、+と−の数字を見ても「とにかく数字同士を足す」感覚が抜けず、3+8=11 と書きそうになって手が止まる。同符号のルールと混ざってしまう場面。
- 克服のコツ：因果関係で整理する。同符号は同じ向きの移動なので距離が積み上がる＝絶対値を足す。異符号は反対向きの移動なので重なった分が打ち消し合う＝絶対値を引く。「足すか引くか」は数字ではなく符号が同じか違うかで決まる、と読み替える。
- ミニ例：(+3)+(−8) は右へ3進んで左へ8戻る動き。重なった3が打ち消され、残りは左へ 8−3=5。答えは −5 で、+11 にはならない。
答えの符号を絶対値の小さい方につけてしまう
- つまずく場面：本文の (+3)+(−8) を読みながら絶対値の差 8−3=5 までは出せたのに、「先に書いてある +3 の符号を使うのかな」と迷い、+5 と書きそうになる場面。どちらの符号を残すかで止まってしまう。
- 克服のコツ：見分け方を固定する。異符号の加法では、計算より先に絶対値が大きい方の符号だけを見る。+3 と −8 なら絶対値は 3 と 8、大きいのは 8 の方なので符号は−に決まる。先に符号、あとから絶対値の差、の順で書くと迷いが消える。
- ミニ例：(+7)+(−4) は絶対値が大きい +7 側の符号で +。差は 7−4=3 なので答えは +3。逆に (−9)+(+6) なら大きいのは −9 側で −3。
絶対値が等しい異符号で 0 にできずに止まる
- つまずく場面：(−5)+(+5) や (+12)+(−12) を見たときに、「数字が同じだから差は 0、でも符号はどっちをつけるんだろう」と迷い、+0 や −0 と書いてよいのか手が止まる場面。
- 克服のコツ：位置関係で考える。数直線上で同じ距離を反対向きに動くと、出発点に戻る＝原点に重なる。だから絶対値が等しい異符号の和は必ず 0。0 は正でも負でもない数なので、+ や − をつけずにただ 0 と書く。
- ミニ例：(−5)+(+5) は左へ5進んだ後に右へ5戻るので原点に戻り、答えは 0。+0 とも −0 とも書かないのがルール。
3つ以上の加法で左から順に計算してミスする
- つまずく場面：本文の (+5)+(−3)+(+2)+(−7) を読んだとき、左から (+5)+(−3)=+2、次に +2+(+2)=+4、…と一手ずつ進めるうちに途中で符号を取り違え、最終答えが合わなくなる場面。
- 克服のコツ：時系列ではなく同符号でまとめる順に並べ替える。交換法則と結合法則が使えるので、正の数どうし・負の数どうしを先に集めてから1回だけ異符号の計算をする。途中の符号判断が減り、ミスが激減する。
- ミニ例：(+5)+(−3)+(+2)+(−7) は正どうし +5+2=+7、負どうし −3−7=−10 にまとめ、最後に (+7)+(−10)=−3。
練習問題
- (+6) + (+9)
- (−4) + (−7)
- (+10) + (−3)
- (−8) + (+5)
- (−12) + (+12)
答えを見る
(1) 同符号 +(6+9) = +15
(2) 同符号 −(4+7) = −11
(3) 異符号、+10の方が絶対値大 +(10−3) = +7
(4) 異符号、−8の方が絶対値大 −(8−5) = −3
(5) 絶対値が等しい異符号 = 0
- (+3) + (−5) + (+4)
- (−2) + (−6) + (+8)
- (+10) + (−4) + (−7) + (+1)
答えを見る
(1) (+3+4)+(−5) = +7+(−5) = +2
(2) (−2−6)+(+8) = −8+8 = 0
(3) (+10+1)+(−4−7) = +11+(−11) = 0
- (+14) + (−9)
- (−6) + (+11)
- (−20) + (+20)
- (−13) + (−4)
答えを見る
(1) +14 の絶対値が大きいので正。14−9=5 → +5
(2) +11 の絶対値が大きいので正。11−6=5 → +5
(3) 絶対値が同じ異符号なので 0
(4) 同符号でどちらも負。13+4=17 → −17
答えを見る
計算式：(−3) + (+5) = +2
答え：+2℃（2℃）
※ 異符号の加法。+5の方が絶対値が大きいので符号は+。絶対値の差は5−3=2。
答えを見る
式は (+4) + (−9)。
異符号で、−9の方が絶対値が大きい。9−4=5 なので −5。
答え：地点Aから西へ5m の位置。
まとめ
- 正負の加法は 数直線の移動として理解：正の数を足す＝右へ、負の数を足す＝左へ。
- 同符号どうし：絶対値の和に、共通の符号をつける。
- 異符号どうし：絶対値の差に、絶対値の大きい方の符号をつける。
- 絶対値が等しい異符号の加法は 0。
- 異符号で差を考える理由は、反対向きの移動が打ち消し合うから。
- 3つ以上の数は、同符号どうしを先にまとめると楽。
もっと知る ── 発展・実生活（出典つき）
※ 教科書の内容に、信頼できる出典をもとにした発展・実生活・時事の話題を補足しています（教科書そのものではありません）。
気温の上がり下がりは、正負の数のたし算そのもの実生活
「マイナス3℃から5℃上がる」は (−3)+(+5)=+2 という異符号のたし算で求められます。気象庁の公式記録では、日本の歴代最低気温は1902年に北海道旭川市で観測された −41.0℃で、100年以上たった今も更新されていません。このような氷点下の気温を扱うとき、負の数の加法がそのまま役立ちます。
標高の「0メートル」と、その下のマイナスの世界実生活
日本の土地の高さ（標高）は、測量法によって東京湾の平均海面を基準の0mと決めて測られています。基準より上は正の数、下は負の数で表され、海面より低い土地は標高がマイナスになります。0をどこに置くかで正と負が決まる、という正負の数の考え方が、そのまま地図づくりに使われています。
出典：国土地理院
世界でいちばん低い湖・死海は標高マイナス422m実生活
中東にある死海は、湖面の標高が海抜マイナス422mで、世界でいちばん低い湖です。海面を0mとすると、それより422m低いことを −422 という負の数で表します。実際の地形でも、0を基準にした負の数が当たり前に使われていることがわかります。
日本一低い山「大潟富士」は山頂が標高0m発展
秋田県の大潟村は、八郎潟を干拓してできた、村のほぼ全域が海面より低い土地です。ここにある大潟富士は、山頂の標高がちょうど0mで、ふもとは海面より約3.8m低い場所にあります。同じ「0m」でも、まわりが負の標高だからこそ山として成り立つ、正負の数のおもしろい例です。
負の数は「借金」から生まれた ── 古代中国とインドの工夫発展
古代中国の数学書『九章算術』では、赤い算木で正の数、黒い算木で負の数を表し、負の数を含む計算を行っていました。さらに7世紀インドの数学者ブラーマグプタは、正の数を「財産」、負の数を「借金」と呼んで計算の規則を整えました。「持っているお金」と「借金」を合わせると打ち消し合うという発想は、異符号のたし算の考え方とぴったり重なります。
出典：ウィキペディア「負の数」