乗法公式と因数分解（いんすうぶんかい）（多項式）
| 名前 | 公式 | ポイント |
|---|---|---|
| 和の平方 | (a + b)² = a² + 2ab + b² | 真ん中の2abを忘れがち |
| 差の平方 | (a − b)² = a² − 2ab + b² | 両端は2乗だから必ず＋ |
| 和と差の積 | (a + b)(a − b) = a² − b² | 中央の項が消える |
| 和と積 | (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab | 和がxの係数、積が定数項 |
| 和の平方の例 | (2x + 5)² = 4x² + 20x + 25 | 係数2xも2乗する |
| 和と差の積の例 | (2a + 7)(2a − 7) = 4a² − 49 | 2乗の差になる |
| 因数分解（平方の形） | a² + 2ab + b² = (a + b)² | 両端が2乗、真ん中が±2abなら平方の形 |
| 因数分解（2乗の差） | a² − b² = (a + b)(a − b) | 2項・引き算・両方2乗。a²+b²は分解できない |
| 因数分解（和と積） | x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) | かけて定数項、足してxの係数の2数を探す |
| 符号の見分け | 定数項＋なら2数は同符号、定数項−なら異符号 | 異符号のときは絶対値の大きい方がxの係数の符号 |
平方根（へいほうこん）と2次方程式
| 名前 | 公式 | ポイント |
|---|---|---|
| ルートの積 | √a × √b = √(ab)（a, b ≧ 0） | 中身どうしを掛けて√でくくる |
| ルートの商 | √a ÷ √b = √(a/b)（a ≧ 0, b > 0） | 分数にして根号内を約分 |
| ルートの簡単化 | √(a²b) = a√b | 平方数を外に出す |
| 簡単化の例① | √50 = 5√2、√72 = 6√2 | 50=25×2、72=36×2と平方数を見つける |
| 簡単化の例② | √300 = 10√3 | 300=100×3。大きい数は素因数分解で2乗ペアを探す |
| 係数つきの積 | 3√2 × 2√5 = 6√10 | 係数どうし、√どうしを分けて掛ける |
| 解の公式 | x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a | ax² + bx + c = 0 に整理してから代入 |
| √の中の符号 | b² − 4ac が√の中身 | 高校では「判別式（D）」と呼ぶが、中学は√の中身の符号で解の個数を見る |
| 解の個数 | b² − 4ac が＞0で2つ、=0で重解、＜0で解なし | 符号を計算してから公式に入る |
| 約分と簡単化 | (−2 ± 2√5)/2 = −1 ± √5 | 分子の共通因数は約分し、√の中は簡単化まで |
関数 y = ax² のグラフ
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| グラフの形 | 放物線（ほうぶつせん）。原点が頂点、y軸が対称軸（たいしょうじく） |
| aの符号 | a > 0 なら上に開く（原点が最低点）、a < 0 なら下に開く（原点が最高点） |
| |a|の大きさ | 大きいほど細く、小さいほど広く開く |
| 通る点 | x = ±1 のとき y = a。x = 0 で原点を通る |
| 左右対称の理由 | x² と (−x)² が同じ値になるので、y軸について左右対称 |
| グラフのかき方 | x = −2, −1, 0, 1, 2 の5点を計算してプロットし、なめらかな曲線で結ぶ |
| yの変域（基本） | xの変域が原点をまたがないときは、両端の2点で最大・最小を決める |
| yの変域（原点をまたぐ） | xの変域が原点をまたぐときは原点と両端の3点で考える |
| 変域の例（a>0） | y = x² で −3 ≦ x ≦ 2 のとき 0 ≦ y ≦ 9（最小は原点、最大はx=−3） |
| 変域の例（a<0） | y = −x² で −2 ≦ x ≦ 3 のとき −9 ≦ y ≦ 0（最大は原点、最小はx=3） |
図形の定理（相似・円周角・三平方）
| 名前 | 内容 |
|---|---|
| 相似条件① | 3組の辺の比がすべて等しい |
| 相似条件② | 2組の辺の比とその間の角が等しい |
| 相似条件③ | 2組の角がそれぞれ等しい（証明で最頻出） |
| 円周角の定理 | 同じ弧（こ）に対する円周角は中心角の半分 |
| 同じ弧の円周角 | 同じ弧に対する円周角はすべて等しい |
| 直径の円周角 | 直径に対する円周角は90° |
| 内接四角形 | 円に内接（ないせつ）する四角形の向かい合う角の和は180° |
| 三平方の定理 | a² + b² = c²（cは斜辺（しゃへん）＝直角の向かい側） |
| 三平方の逆 | a² + b² = c² が成り立てば直角三角形 |
| 覚える整数比 | 3:4:5、5:12:13 |
| 特別な直角三角形 | 45°-45°-90°は1:1:√2、30°-60°-90°は1:√3:2 |
覚え方・ポイント
- (a + b)² を a² + b² としてしまうのが超頻出ミス。真ん中の2abを忘れないこと。迷ったら分配法則で1項ずつ掛ければ必ず確認できる。
- 解の公式は符号ミスに注意。b = −3 のとき −b = +3、(−3)² = 9。「−b」「b²」「−4ac」を1ステップずつ計算するとミスが激減する。b² − 4ac（√の中身）は高校で「判別式（D）」と呼ぶが、中学ではこの符号で解の個数を判断すれば十分。
- √の答えは簡単化まで。√8 のまま残さず 2√2 にする。「ルートの中に平方数が残っていない」形が完成形。
- 相似の証明の9割は「2組の角がそれぞれ等しい」で押す。共通角・平行線の同位角や錯角・対頂角・円周角を角探しに活用する。
- 三平方の定理は直角三角形だけで使える。斜辺（しゃへん）は直角の向かい側で3辺のうち最も長く、式の右辺（c²）に置く辺。
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出典・最終更新
- 出典基盤：教科書（中学数学）の核となる事実を、資料・年表として整理。
- 最終更新：2026-07-07